Kikapu cha Apollonia ni aina ya picha iliyovunjika ambayo imeundwa kutoka kwa mkusanyiko wa miduara inayopungua inayomo ndani ya duara moja kubwa. Kila mduara kwenye Gasket ya Apollonia ni laini kwa duru zilizo karibu - kwa maneno mengine, miduara katika Gasket ya Apollonia inawasiliana kwa sehemu ndogo sana. Aitwaye mtaalam wa hesabu wa Uigiriki Apollonius wa Perga, aina hii ya Fractal inaweza kuchorwa (kwa mkono au kwa kompyuta) kwa kiwango cha kawaida cha ugumu, na kutengeneza picha nzuri na ya kushangaza. Angalia Hatua ya 1 hapa chini ili uanze.
Hatua
Sehemu ya 1 ya 2: Elewa Dhana kuu
Ili kuwa wazi kabisa, ikiwa una nia tu ya kuchora Gasket ya Apollonia, sio muhimu kutafiti kanuni za hesabu nyuma ya Fractal. Walakini, ikiwa ungependa ufahamu wa kina wa Gaskets za Apollonia, ni muhimu kuelewa ufafanuzi wa dhana kadhaa tutazotumia wakati wa kujadili.
Hatua ya 1. Fafanua maneno muhimu
Maneno yafuatayo hutumiwa katika maagizo hapa chini:
- Kikapu cha Apollonia: Moja ya majina kadhaa ya aina ya fractal iliyo na safu ya miduara iliyowekwa ndani ya duara moja kubwa na tangent kwa wengine wote walio karibu. Hizi pia huitwa "Miduara ya Soddy" au "Miduara ya Kubusu".
- Radius ya mduara: Umbali kutoka kituo cha duara hadi ukingo wake. Kawaida hupewa variable r.
- Mzunguko wa mduara: Inverse chanya au hasi ya eneo, au ± 1 / r. Curvature ni chanya wakati wa kushughulika na curvature ya nje ya mduara na hasi kwa curvature ya ndani.
- Tangent: Neno linalotumiwa kwa mistari, ndege, na maumbo ambayo hupita kwa sehemu moja ndogo sana. Katika Gaskets za Apollonia, hii inamaanisha ukweli kwamba kila mduara hugusa kila mduara wa karibu wakati mmoja tu. Kumbuka kuwa hakuna makutano - maumbo tangent hayaingiliani.
Hatua ya 2. Elewa nadharia ya Descartes
Theorem ya Descartes ni fomula ambayo ni muhimu kwa kuhesabu saizi ya duara kwenye Gasket ya Apollonia. Ikiwa tutafafanua curvature (1 / r) ya miduara yoyote mitatu kama a, b, na c, mtawaliwa, Theorem inasema kwamba mviringo wa mduara (au miduara) ulio na tepe zote tatu, ambazo tutafafanua kama d, ni: d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)).
Kwa madhumuni yetu, kwa jumla tutatumia tu jibu tunalopata kwa kuweka alama ya kuongeza mbele ya mzizi wa mraba (kwa maneno mengine,… + 2 (sqrt (…)) Kwa sasa, inatosha kujua kwamba kutoa fomu ya equation ina matumizi yake katika majukumu mengine yanayohusiana
Sehemu ya 2 ya 2: Kuunda Kikapu cha Apolonia
Gaskets za Apollonia huchukua fomu ya mipangilio mzuri ya kukatika kwa miduara inayopungua. Kimahesabu, Gaskets za Apollonia zina ugumu usio na kipimo, lakini, ikiwa unatumia programu ya kuchora kompyuta au zana za jadi za kuchora, mwishowe utafikia hatua ambayo haiwezekani kuteka duru ndogo yoyote. Kumbuka kuwa kadri unavyochora vizuri miduara yako, ndivyo utakavyoweza kutoshea kwenye Kikapu chako.
Hatua ya 1. Kukusanya zana zako za kuchora za dijiti au za Analog
Katika hatua zifuatazo, tutatengeneza gasket yetu rahisi ya Apollonia. Inawezekana kuteka Gaskets za Apollonia kwa mkono au kwenye kompyuta. Kwa hali yoyote, utataka kuweza kuteka duru kamili. Hii ni muhimu sana. Kwa kuwa kila duara kwenye Gasket ya Apollonia ni laini kabisa kwenye miduara iliyo karibu nayo, miduara ambayo hata imeumbika kidogo inaweza "kutupa" bidhaa yako ya mwisho.
- Ikiwa unachora Gasket kwenye kompyuta, utahitaji programu ambayo hukuruhusu kuchora kwa urahisi duru za eneo lililowekwa kutoka sehemu kuu. Gfig, ugani wa kuchora vector kwa mpango wa bure wa uhariri wa picha GIMP, inaweza kutumika, kama vile programu anuwai zingine za kuchora (angalia sehemu ya vifaa kwa viungo vinavyohusika). Pia utahitaji programu ya kikokotoo na hati ya usindikaji wa neno au kijarida cha mwili kwa kuchukua maelezo juu ya curvature na radii.
- Kwa kuchora Gasket kwa mkono, utahitaji kikokotoo (kisayansi au picha iliyopendekezwa), penseli, dira, rula (ikiwezekana kiwango na alama za milimita, karatasi ya grafu, na kijarida cha kuchukua noti.
Hatua ya 2. Anza na duara moja kubwa
Jukumu lako la kwanza ni rahisi - tu chora duara moja kubwa, duru kabisa. Mzunguko ni mkubwa, Gasket yako inaweza kuwa ngumu zaidi, kwa hivyo jaribu kutengeneza duara kubwa kama karatasi yako inaruhusu au kubwa kama unaweza kuona kwa urahisi kwenye dirisha moja kwenye programu yako ya kuchora.
Hatua ya 3. Unda mduara mdogo ndani ya asili, tangent kwa upande mmoja
Ifuatayo, chora mduara mwingine ndani ya kwanza ambao ni mdogo kuliko ule wa asili, lakini bado ni mkubwa. Ukubwa halisi wa mduara wa pili ni juu yako - hakuna saizi sahihi. Walakini, kwa madhumuni yetu, wacha tuvute mduara wetu wa pili ili iweze kufikia nusu kabisa kwenye duara letu kubwa la nje. Kwa maneno mengine, wacha tuvute mduara wetu wa pili ili hatua yake kuu iwe katikati ya eneo kubwa la duara.
Kumbuka kwamba katika Gaskets za Apollonia, miduara yote inayogusa ni laini kwa kila mmoja. Ikiwa unatumia dira kuteka miduara yako kwa mkono, fanya athari hii kwa kuweka ncha kali ya dira katikati ya eneo kubwa la mduara wa nje, kurekebisha kalamu yako ili iweze kugusa ukingo wa duara kubwa, kisha kuchora mduara wako mdogo wa ndani
Hatua ya 4. Chora duara inayofanana "kote kutoka" mduara mdogo wa ndani
Halafu, wacha tuvute mduara mwingine kutoka kwa wa kwanza. Mduara huu unapaswa kuwa laini kwa duara kubwa la nje na mduara mdogo wa ndani, ambayo inamaanisha kuwa miduara yako miwili ya ndani itagusa katikati kabisa ya duara kubwa la nje.
Hatua ya 5. Tumia nadharia ya Descartes kupata saizi ya miduara yako inayofuata
Wacha tuache kuchora kwa muda mfupi. Sasa kwa kuwa tuna miduara mitatu kwenye Gasket yetu, tunaweza kutumia Theorem ya Descartes kupata eneo la mduara unaofuata tutachora. Kumbuka kwamba Theorem ya Descartes ni d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)), ambapo a, b, na c ni curvature ya miduara yako mitatu yenye tangent na d ni curvature ya duara tangent kwa zote tatu. Kwa hivyo, kupata eneo la duara letu linalofuata, wacha tutafute curvature ya kila moja ya miduara tuliyonayo hadi sasa ili tuweze kupata ukingo wa mduara unaofuata, kisha ubadilishe hii kuwa radius yake.
-
Wacha tufafanue eneo la duara letu la nje kama
Hatua ya 1.. Kwa sababu miduara mingine iko ndani ya hii, tunashughulika na upinde wake wa ndani (badala ya mviringo wake wa nje), na, kwa hivyo, tunajua kupindika kwake ni hasi. - 1 / r = -1/1 = -1. Mzunguko mkubwa wa mduara ni - 1.
-
Radii ndogo za duru ni nusu kubwa kama ile ya duara kubwa, au, kwa maneno mengine, 1/2. Kwa kuwa miduara hii inagusana na duara kubwa na ukingo wao wa nje, tunashughulikia ukingo wao wa nje, kwa hivyo curvature zao ni nzuri. 1 / (1/2) = 2. curvature ndogo za duru zote ni mbili
Hatua ya 2..
-
Sasa, tunajua kuwa a--1, b = 2, na c = 2 kwa equation yetu ya Theorem ya Descartes. Wacha tutatue kwa d:
- d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 × 2 + 2 × -1))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (sqrt (-2 + 4 + -2))
- d = -1 + 2 + 2 ± 0
- d = -1 + 2 + 2
-
d = 3. Mzunguko wa mzunguko wetu unaofuata ni
Hatua ya 3.. Tangu 3 = 1 / r, eneo la duara letu linalofuata ni 1/3.
Hatua ya 6. Unda seti yako inayofuata ya miduara
Tumia thamani ya eneo ulilopata tu kuteka miduara yako miwili ijayo. Kumbuka kwamba hizi zitakuwa tangent kwa miduara ambayo curvature zake ulizotumia kwa a, b, na c katika Theorem ya Descartes. Kwa maneno mengine, watakuwa tangent kwa duru zote za asili na za pili. Ili miduara hii iwe nyepesi kwa miduara yote mitatu, utahitaji kuwavuta katika nafasi wazi juu na chini ya eneo ndani ya duara lako kubwa la asili.
Kumbuka kwamba radii hizi za duru zitakuwa sawa na 1/3. Pima 1/3 nyuma kutoka ukingo wa mduara wa nje, kisha chora mduara wako mpya. Inapaswa kuwa tangent kwa duru zote tatu zinazozunguka
Hatua ya 7. Endelea kwa mtindo huu ili kuendelea kuongeza miduara
Kwa sababu ni wavunjaji, Gaskets za Apollonia ni ngumu sana. Hii inamaanisha unaweza kuongeza miduara midogo na midogo kwa yaliyomo moyoni mwako. Umepunguzwa tu kuwa usahihi wa zana zako (au, ikiwa unatumia kompyuta, uwezo wa programu yako ya kuchora "kukuza"). Kila duara, bila kujali ni ndogo kiasi gani, inapaswa kuwa tangent kwa miduara mingine mitatu. Ili kuteka kila duara linalofuata kwenye Gasket yako, ingiza curvature za miduara mitatu ambayo itakuwa tangent kwa Theorem ya Descartes. Kisha, tumia jibu lako (ambalo litakuwa eneo la duara lako jipya) kuteka mduara wako mpya kwa usahihi.
- Kumbuka kuwa Gasket ambayo tumechagua kuchora ni ya ulinganifu, kwa hivyo eneo la duara moja ni sawa na duara linalolingana "kote kutoka". Walakini, ujue kuwa sio kila Kikapu cha Apolloni ni sawa.
-
Wacha tuchukue mfano mmoja zaidi. Wacha tuseme kwamba, baada ya kuchora seti yetu ya mwisho ya miduara, sasa tunataka kuteka miduara ambayo ni tangent kwa seti yetu ya tatu, seti yetu ya pili, na mduara wetu mkubwa wa nje. Vipimo vya duara hizi ni 3, 2, na -1, mtawaliwa. Wacha tuunganishe nambari hizi kwenye Theorem ya Descartes, tukiweka = -1, b = 2, na c = 3:
- d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 × 3 + 3 × -1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (-2 + 6 + -3))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2
-
d = 2, 6. Tuna majibu mawili! Walakini, kwa sababu tunajua kwamba mduara wetu mpya utakuwa mdogo kuliko miduara yoyote ambayo ni tungle, ni curvature tu ya
Hatua ya 6. (na kwa hivyo eneo la 1/6) ina maana.
- Jibu letu lingine, 2, kwa kweli linahusu mduara wa kudhaniwa upande wa pili wa ncha tangent ya duru yetu ya pili na ya tatu. Mduara huu ni yenye mviringo kwa miduara hii yote miwili na kwenye duara kubwa la nje, lakini ingevuka miduara ambayo tayari tumepata, kwa hivyo tunaweza kuipuuza.
Hatua ya 8. Kwa changamoto, jaribu kutengeneza Gasket ya Apollonia isiyo ya ulinganifu kwa kubadilisha saizi ya duara lako la pili
Gaskets zote za Apollonia zinaanza sawa - na mduara mkubwa wa nje ambao hufanya kama makali ya Fractal. Walakini, hakuna sababu kwamba mduara wako wa pili lazima uwe na 1/2 eneo la kwanza - tumechagua kufanya hii hapo juu kwa sababu ni rahisi na rahisi kuelewa. Kwa kujifurahisha, jaribu kuanzisha Gasket mpya na mduara wa pili wa saizi tofauti - hii itasababisha njia mpya za uchunguzi.
